再談丟勒幻方
一切由憂鬱開始
在西方,德國藝術家丟勒 (Albrecht Durer 1471-1528) 在 1514 年繪製的名畫《憂鬱》 (Melencolia I),這可能是最具數學意識的藝術品之一。這板畫當中也包含了一個四階幻方,我們可稱這類幻方為丟勒幻方 (Durer's Magic Square)。
在圖的右上方,我們可見這個四階的丟勒幻方。
16 | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
這個幻方被譽為完美幻方,正因為當中很多組合的和也等同幻和 (Magic Sum) ,即 34。本人在另文《由洛書到名畫 - 幻方欣賞一》已講解過這個幻方的一些性質,這兒不作冗列了。但不可不提,我們可以用製作這個幻方的方法來製作三樣東西:一是鏡反幻方 (Mirror Magic Square)、二是更高階的丟勒幻方 (Durer's Magic Square)、三是由更高階的丟勒幻方而變化出來的更高階鏡反幻方。
丟勒幻方的秘密
其實製作丟勒幻方亦不難。我們可先把一個四四一十六的方陣的對角線著色:
然後我們在第一行,由右至左填上 1 至 4 ,在第二和第三行則沿左至右分別填上 5 至 8 和 9 至 12,而最末一行則和第一行相同,沿右至左填上 13 至 16。
簡單而言,第一行由右至左 (當然由左至右亦可以),接下來偶數行的填向和上一行相反,而奇數行的填向則和上一行相同。便得下圖。
4 | 3 | 2 | 1 |
5 | 6 | 7 | 8 |
9 | 10 | 11 | 12 |
16 | 15 | 14 | 13 |
把灰格的數字作上下反射:
16 | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
這個製造幻方的方法,我們稱為丟勒法 (Durer's Method)。
熟悉製作幻方的網友或會留意到,丟勒法和通常製作偶階幻方 (Even Ordered Magic Square) 的對角線法 (Diagonal Method) 有點像樣。的確如此,但也有不同的地方:
丟勒法只適用於 4 或以上的 2 的方冪,而對角線法適用 4 或以上的所有偶數。
丟勒法每橫行的數字序向都不一樣,但對角線法中的是相同。
丟勒法是把對角線上的數字作上下鏡反,但對角線法是作一百八十度旋轉。
作高階丟勒幻方時得作第二次的左右鏡反,其實在原四階丟勒幻方亦可作相類似的左右鏡反,但事實上沒有而已。而對角線法只是一次過作位置變換,而非分兩次對不同的對象作位置變換。
總結兩者不同之處亦很多,該不易運亂的。
八階和十六階的丟勒幻方
我們可把類此的方法擴展至八階或任何階數為二的方冪的幻方之中。現在讓我們看看八階幻方的例子:
首先我們把當中每個四階的小幻方的對角線著色。再依下列方向:第一、四、五、八行由右至左;其餘四行由左至右填上 1 至 64。
8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
32 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 |
40 | 39 | 38 | 37 | 36 | 35 | 34 | 33 |
41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |
49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
64 | 63 | 62 | 61 | 60 | 59 | 58 | 57 |
再把灰格的數字作上下鏡反:
64 | 7 | 6 | 61 | 60 | 3 | 2 | 57 |
9 | 50 | 51 | 12 | 13 | 54 | 55 | 16 |
17 | 42 | 43 | 20 | 21 | 46 | 47 | 24 |
40 | 31 | 30 | 37 | 36 | 27 | 26 | 33 |
32 | 39 | 38 | 29 | 28 | 35 | 34 | 25 |
41 | 18 | 19 | 44 | 45 | 22 | 23 | 48 |
49 | 10 | 11 | 52 | 53 | 14 | 15 | 56 |
8 | 63 | 62 | 5 | 4 | 59 | 58 | 1 |
我們發現這幻方也是一個關聯幻方,且其橫看第一、二行兩格中的數字之和,第三、四行兩格中的數字之和 ,第五、六行兩格及最末兩行兩格中的數字之和形成如下左表的規律。反過來,我們直行每兩格的數字之和也形成右圖的規律:
|
|
這已是一個幻方了。但問題來了,這似乎和原有的丟勒幻方有點不相同:原來的四階幻方中兩相鄰元素之和,不論直行還是橫行,也只有兩種不同的數值;但現在的左圖卻混進了四個不同的數值。
解決方法是得再作一次橫向的變換,而這個變換是原來四階的丟勒幻方中沒有的:
64 | 7 | 6 | 61 | 60 | 3 | 2 | 57 |
9 | 50 | 51 | 12 | 13 | 54 | 55 | 16 |
17 | 42 | 43 | 20 | 21 | 46 | 47 | 24 |
40 | 31 | 30 | 37 | 36 | 27 | 26 | 33 |
32 | 39 | 38 | 29 | 28 | 35 | 34 | 25 |
41 | 18 | 19 | 44 | 45 | 22 | 23 | 48 |
49 | 10 | 11 | 52 | 53 | 14 | 15 | 56 |
8 | 63 | 62 | 5 | 4 | 59 | 58 | 1 |
對,又是看著灰色的格,但這回是左右鏡反:
64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |
9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |
即成下圖的製成品:
64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |
9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |
這個新的幻方,橫看相鄰兩行的和分別是 64 和 66,而直看鄰兩行的和分別是 73 和 57:
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|
這樣,只要我們選擇和分別為 64 及 66 的數組各兩對,或和分別為 57 及 73 的數組各兩對,便可湊足 260 這個幻和了。當然該幻方亦是一個關聯幻方 (Associative Magic Square),即找依中央作旋轉對稱的兩點的和會是 65,這樣任找四對,亦可湊足 260來。
丟勒或然沒有以此法創製八階幻方,但這其實不是一個新創的幻方,因為和丟勒差不多相同時期的另一人,德國哲學家、神學家兼天文學家阿格里帕 (Heinrich Cornelius Agrippa 1486-1535) 早對幻方有研究。大約 1510年,他製作了三階至九階的幻方,分別冠以土星 (Saturn) 、 木星 (Jupiter) 、 火星 (Mars) 、 太陽 (Sol) 、 金星 (Venus) 、 水星 (Mercury) 和月亮 (Luna) 的名字,其中四階和八階幻方正和我們討論的幻方結構相同。
說回那個八階幻方,各行元素的平方和也是成雙成對的出現:不論橫直,第四、五行的平方和是相同的,第三、六行的平方和也是相同;第二、七行和第一、八行亦然:不信的話,拿計算機出來計一計便知曉。 順便一言,直行,第四、三、二、一行的平方和分別為 11140、11156、11188 和 11236 ,這四數成一道二次算術數列 (Arithmetic Sequence),即兩相鄰數字的差成一公差為 16 的算術數列;而橫行,第四、三、二、一行的平方和分別為 8620、9644、11692 和 14764,這四數亦成一道二次算術數列,而兩相鄰數字的差這回成一公差為 1024 的算術數列。 若階數為 n = 8,則此兩公差,一為 2n,一為 2n3。 這現象在原有的四階丟勒幻方中看不見,但在接下來的十六階丟勒幻方中則可印證。
以下來是十六階的丟勒幻方:
256 | 2 | 3 | 253 | 252 | 6 | 7 | 249 | 248 | 10 | 11 | 245 | 244 | 14 | 15 | 241 |
17 | 239 | 238 | 20 | 21 | 235 | 234 | 24 | 25 | 231 | 230 | 28 | 29 | 227 | 226 | 32 |
33 | 223 | 222 | 36 | 37 | 219 | 218 | 40 | 41 | 215 | 214 | 544 | 45 | 211 | 210 | 48 |
208 | 50 | 51 | 205 | 204 | 54 | 55 | 201 | 200 | 58 | 59 | 197 | 196 | 62 | 63 | 193 |
192 | 66 | 67 | 189 | 188 | 70 | 71 | 185 | 184 | 74 | 75 | 181 | 180 | 78 | 79 | 177 |
81 | 175 | 174 | 84 | 85 | 171 | 170 | 88 | 89 | 167 | 166 | 92 | 93 | 163 | 162 | 96 |
97 | 159 | 158 | 100 | 101 | 155 | 154 | 104 | 105 | 151 | 150 | 108 | 109 | 147 | 146 | 112 |
144 | 114 | 115 | 141 | 140 | 118 | 119 | 137 | 136 | 122 | 123 | 133 | 132 | 126 | 127 | 129 |
128 | 130 | 131 | 125 | 124 | 134 | 135 | 121 | 120 | 138 | 139 | 117 | 116 | 142 | 143 | 113 |
145 | 111 | 110 | 148 | 149 | 107 | 106 | 152 | 143 | 103 | 102 | 156 | 127 | 99 | 98 | 160 |
161 | 95 | 94 | 164 | 165 | 91 | 90 | 168 | 169 | 87 | 86 | 172 | 173 | 83 | 82 | 176 |
80 | 178 | 179 | 77 | 76 | 182 | 183 | 73 | 72 | 186 | 187 | 69 | 68 | 190 | 191 | 65 |
64 | 194 | 195 | 61 | 60 | 198 | 199 | 57 | 56 | 202 | 203 | 53 | 52 | 206 | 207 | 49 |
209 | 47 | 46 | 212 | 213 | 43 | 42 | 216 | 217 | 39 | 38 | 220 | 221 | 35 | 34 | 224 |
225 | 31 | 30 | 228 | 229 | 27 | 26 | 232 | 233 | 23 | 22 | 236 | 237 | 19 | 18 | 240 |
16 | 242 | 243 | 13 | 12 | 246 | 247 | 9 | 8 | 250 | 251 | 5 | 4 | 254 | 255 | 1 |
這個幻方,橫看相鄰兩行的和分別是 256 和 258,而直看鄰兩行的和分別是 241 和 273。看看要找出幻和 2056 的組合也不難呢。
此外,這幻方中各行的平方和也是左右或上下對稱的,如第一行和第十六行的平方和是相同的,或第八行和第九行的平方和也相同等。直行,第八至第一行的平方和分別為 351240、351272、351336、351432、351560、351720、351912 和 352136,這是一道公差為 32 的二次算術數列;而橫看,第八至第一行的平方和分別為 8192、16384、24576、32768、40960、49152 和 57344,這便是一道公差為 8192 的二次算術數列。我們亦看到 32 = 2*16 ,8192 = 2*16*16*16,這不印證我們剛才在八階丟勒幻方看到的事情嗎?
再高一階又如何?那便是三十二階了,合共有 1024 個格得填上,以這方法製不算太難,只是得花點時間而已。
拿片鏡子照幻方
所謂鏡反幻方,即把整個幻方作上下或左右鏡反 (Reflection),鏡像依然是一個幻方。由於得把幻方連同數字作鏡反,故我們只可使用 1、8 或 0 或其組成的數字填進幻方中。當然若然我們不是要鏡反,而是要求旋轉 (Rotation) 的話,2、5、6、9也可使用的。
若我們四階的丟勒幻方中各值減一,再轉為二進制,便得到一個鏡反幻方來:
1111 | 0010 | 0001 | 1100 |
0100 | 1001 | 1010 | 0111 |
1000 | 0101 | 0110 | 1011 |
0011 | 1110 | 1101 | 0000 |
但是以零作為一數之始,總感不妙,故得把幻方數字中的 0 更換成 8。廣東人「八」喻意「發財」,所以我說這是一個「意頭」極佳的幻方 :
1111 | 8818 | 8881 | 1188 |
8188 | 1881 | 1818 | 8111 |
1888 | 8181 | 8118 | 1811 |
8811 | 1118 | 1181 | 8888 |
其實我們把 0 和 1 代換成任何不同的數字,結果也成幻方。
幻方中每一個數字也是上下對稱,也和自身或別數字成左右對稱,而其幻和是 19998,同時亦符合原幻方的各項條件,怪不怪哉?其實這因由很簡單,因直、橫或對角線各行中的四個數字合共使每個數位均有兩個 0 和兩個 1。而不論把零和一代換成任何不同的數字,即數字出現的次數也相同,其和自然也相同了。
誠如先前所述,若把這鏡反幻方左右或上下反射,也成另一個幻方。現在我們反一反,看一看吧:
|
|
其實我們把這個幻方作一百八十度旋轉,又會得出一個「意頭」極佳的幻方來:
8888 | 1811 | 8111 | 1188 |
1181 | 8118 | 1818 | 8881 |
1118 | 8181 | 1881 | 8818 |
8811 | 1888 | 8188 | 1111 |
外國人亦以 IXOHOXI 來稱呼此類幻方,單看名字已知這幻方的反射對稱特性了。
再看八階的鏡反幻方:
111111 | 888881 | 888818 | 111188 | 111811 | 888181 | 888118 | 111888 |
881888 | 118118 | 118181 | 881811 | 881188 | 118818 | 118881 | 881111 |
818888 | 181118 | 181181 | 818811 | 818188 | 181818 | 181881 | 818111 |
188111 | 811881 | 811818 | 188188 | 188811 | 811181 | 811118 | 188888 |
811111 | 188881 | 188818 | 811188 | 811811 | 188181 | 188118 | 811888 |
181888 | 818118 | 818181 | 181811 | 181188 | 818818 | 818881 | 181111 |
118888 | 881118 | 881181 | 118811 | 118188 | 881818 | 881881 | 118111 |
888111 | 111881 | 111818 | 888188 | 888811 | 111181 | 111118 | 888888 |
看到個幻方,我不禁想起《易經》和《六十四卦》來。
其實我們看《易經》也不用看得太過神化,那不過以陰陽組合代表八樣自然的東西 (八卦),再由此衍生出六十四樣與自然、生活等有關的事情來,訴出一些處世的哲學而已。而陰陽我們可以以一和零表示,故六十四卦便等同一組六位的二進制數了。我現在不過把這六十四個數排在一個幻方中而已。
再來一個十六階的鏡反幻方:
11118888 | 88881118 | 88881181 | 11118811 | 11118188 | 88881818 | 88881881 | 11118111 | 11111888 | 88888118 | 88888181 | 11111811 | 11111188 | 88888818 | 88888881 | 11111111 |
88811111 | 11188881 | 11188818 | 88811188 | 88811811 | 11188181 | 11188118 | 88811888 | 88818111 | 11181881 | 11181818 | 88818188 | 88818811 | 11181181 | 11181118 | 88818888 |
88181111 | 11818881 | 11818818 | 88181188 | 88181811 | 11818181 | 11818118 | 88181888 | 88188111 | 11811881 | 11811818 | 88188188 | 88188811 | 11811181 | 11811118 | 88188888 |
11888888 | 88111118 | 88111181 | 11888811 | 11888188 | 88111818 | 88111881 | 11888111 | 11881888 | 88118118 | 88118181 | 11881811 | 11881188 | 88118818 | 88118881 | 11881111 |
18118888 | 81881118 | 81881181 | 18118811 | 18118188 | 81881818 | 81881881 | 18118111 | 18111888 | 81888118 | 81888181 | 18111811 | 18111188 | 81888818 | 81888881 | 18111111 |
81811111 | 18188881 | 18188818 | 81811188 | 81811811 | 18188181 | 18188118 | 81811888 | 81818111 | 18181881 | 18181818 | 81818188 | 81818811 | 18181181 | 18181118 | 81818888 |
81181111 | 18818881 | 18818818 | 81181188 | 81181811 | 18818181 | 18818118 | 81181888 | 81188111 | 18811881 | 18811818 | 81188188 | 81188811 | 18811181 | 18811118 | 81188888 |
18888888 | 81111118 | 81111181 | 18888811 | 18888188 | 81111818 | 81111881 | 18888111 | 18881888 | 81118118 | 81118181 | 18881811 | 18881188 | 81118818 | 81118881 | 18881111 |
81118888 | 18881118 | 18881181 | 81118811 | 81118188 | 18881818 | 18881881 | 81118111 | 81111888 | 18888118 | 18888181 | 81111811 | 81111188 | 18888818 | 18888881 | 81111111 |
18811111 | 81188881 | 81188818 | 18811188 | 18811811 | 81188181 | 81188118 | 18811888 | 18818111 | 81181881 | 81181818 | 18818188 | 18818811 | 81181181 | 81181118 | 18818888 |
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相信大家看到這麼多 8 和 1 ,定必頭暈了。
但我還是欣賞鏡反幻方的對稱美和意頭好,是故特意精選字體,把四階和八階的鏡反幻方製成文本 IXOHOXI.pdf,以供諸君下載。新年拿張來當作揮春亦可以,上下左右怎貼也可。
參考文獻及網址:
Heinz, H. "More Magic Square." From Magic Hypercube Hompage http://www.magic-squares.net/moremsqrs.htm.
Pickover, C. A. The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. New Jersey : Princeton University Press , 2002