由中心走到對角 - 幻方欣賞三
由加法走到乘法
46 | 81 | 117 | 102 | 15 | 76 | 200 | 203 |
19 | 60 | 232 | 175 | 54 | 69 | 153 | 78 |
216 | 161 | 17 | 52 | 171 | 90 | 58 | 75 |
135 | 114 | 50 | 87 | 184 | 189 | 13 | 68 |
150 | 264 | 45 | 38 | 91 | 136 | 92 | 27 |
119 | 104 | 108 | 23 | 174 | 225 | 57 | 30 |
116 | 25 | 133 | 120 | 51 | 26 | 162 | 207 |
39 | 34 | 138 | 243 | 100 | 29 | 105 | 152 |
幻方中各數值間的運算是加法 (Addition),換成乘法 (Multiplication) 可以嗎?這倒不難,只要把原幻方中各數換成某數為底的方冪便行。但若要同時保持乘法和加法的結果恆常不變則不容易了。看這個幻方,我們稱為等積幻方 (Addition-multiplication Magic Square),其各行的和是 840,而積則是 2058068231856000。更難得是這個幻方的對角線的和、積也恆守不變。
由真對角走到假對角
這回,我們再看看泛幻方 (Panmagic Square),亦有人稱之為泛對角線幻方 (Pandiagonal Magic Square) 或 魔鬼幻方(Diabolic Magic Square)。
1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
在 11世紀左右,印度人卡俱拉霍 (Khajuraho) 制作了一個四階的泛幻方,因他居住於納西克 (Nasik) 這地,故此等幻方也可稱作納西克幻方 (Nasik Magic Square)。
這個五階幻方沒有什麼特別:不過直、橫各行的和也是幻和的 65,最多我們看到的對角線的和,即 1 + 7 + 13 + 19 + 25 = 9 + 21 + 13 + 5 + 17 = 65。
但這說得上是泛幻方的不只如此:它連斷對角線 (Broken Diagonal),即與對角線平行的斜線組合,如 23 + 15 + 2 + 19 + 6 = 17 + 23 + 4 + 10 + 11 = 65。
下圖試以不同顏色展示不同的斷對角線:
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當然,心思細密的讀者也該看到,這個五階幻方不單是一個泛幻方,也是一個關聯幻方 (Associative Magic Square)。我們若把 1 和 25 視為一對,2 和 24 視為一對,如此類推。我們不難發現,這些一對一對以 26 為和的組合正以方陣中心作對稱排列,這便是關聯幻方了。
由中心走到外方
最後,為大家介紹鑲邊幻方 (Bordered Magic Square),這也稱作同心幻方 (Concentric Magic Square):
16 | 81 | 79 | 78 | 77 | 13 | 12 | 11 | 2 |
76 | 28 | 65 | 62 | 61 | 26 | 27 | 18 | 6 |
75 | 23 | 36 | 53 | 51 | 35 | 30 | 59 | 7 |
74 | 24 | 50 | 40 | 45 | 38 | 32 | 58 | 8 |
9 | 25 | 33 | 39 | 41 | 43 | 49 | 57 | 73 |
10 | 60 | 34 | 44 | 37 | 42 | 48 | 22 | 72 |
14 | 63 | 52 | 29 | 31 | 47 | 46 | 19 | 68 |
15 | 64 | 17 | 20 | 21 | 56 | 55 | 54 | 67 |
80 | 1 | 3 | 4 | 5 | 69 | 70 | 71 | 66 |
這是一個九階鑲邊幻方,由中心算起的 3X3 、 5X5 、 7X7 和 9X9 也成幻方,其幻和分別是 123、205、287 和 369,連對角線也守和不變。
這幻方是由法國數學家貝西 (Frenicle de Bessy 1602-1675) 找到的。
由原數走到方冪
所謂冪和幻方 (Multimagic Square),即指一幻方的各數字各自平方、取三次方,甚自更高次方以後,各直、橫 (以及對角線) 的和也是等同,即也成幻方。若該幻方各數字經平方後仍是幻方,我們稱為平方幻方 (Bimagic Square) ;若該幻方各數字經立方後仍是幻方,我們稱為 立方幻方 (Trimagic Square) ,如此類推。
最早出現的一個平方幻方,是在 1890 年由比費文 (G. Pfeffermann) 找到的,當時他以謎題型式展示了一個八階和九階的平方幻方,這是當中的九階平方幻方。
順帶一言,這個世上不會有三階冪和幻方的,除非你使用九個相同的數字。
這也不難證明,我們設某 y 為中間的一個數且 x, y, z 排成一行。
故我們有 x + z = 2y 及 x2 + z2 = 2y2 兩式。
(x - z)2 = 2(x2 + z2) - (x + z)2 = 2(2y2) - (2y)2 = 4y2 - 4y2 = 0
即 x = z,同理應用於各行中,得九數相同。
這個證明於 1998 年由加拿大數學家軒迪克斯 (John Robert Hendricks 1929-2007) 提出的。
看完證明以後,讓我們看看這個幻方:
1 | 22 | 33 | 41 | 62 | 66 | 79 | 83 | 104 | 112 | 123 | 144 |
9 | 119 | 45 | 115 | 107 | 93 | 52 | 38 | 30 | 100 | 26 | 136 |
75 | 141 | 35 | 48 | 57 | 14 | 131 | 88 | 97 | 110 | 4 | 70 |
74 | 8 | 106 | 49 | 12 | 43 | 102 | 133 | 96 | 39 | 137 | 71 |
140 | 101 | 124 | 42 | 60 | 37 | 108 | 85 | 103 | 21 | 44 | 5 |
122 | 76 | 142 | 86 | 67 | 126 | 19 | 78 | 59 | 3 | 69 | 23 |
55 | 27 | 95 | 135 | 130 | 89 | 56 | 15 | 10 | 50 | 118 | 90 |
132 | 117 | 68 | 91 | 11 | 99 | 46 | 134 | 54 | 77 | 28 | 13 |
73 | 64 | 2 | 121 | 109 | 32 | 113 | 36 | 24 | 143 | 81 | 72 |
58 | 98 | 84 | 116 | 138 | 16 | 129 | 7 | 29 | 61 | 47 | 87 |
80 | 34 | 105 | 6 | 92 | 127 | 18 | 53 | 139 | 40 | 111 | 65 |
51 | 63 | 31 | 20 | 25 | 128 | 17 | 120 | 125 | 114 | 82 | 94 |
這可不是一個普通的 12 階幻方,它是一個立方幻方,即本身各直、橫行之和相等為 870,把各數平方後所形成的幻方之各直、橫行之和亦相等為 83810,把各數立方後所形成的幻方之各直、橫行之和亦相等為 9082800。不單如此,更難得的是此幻方的兩條對角線也確守此和,不作另值。
對於以連續數組成的冪和幻方,其各個幻和也可計算出來:
幻和:S1(n) = 1/2 * (n2) * (n2 + 1) / n = 1/2 * n (n2 + 1)。
平方和:S2(n) = 1/6 * (n2) * (n2 + 1) * (2n2 + 1) / n = 1/6 * n (n2 + 1) (2n2 + 1)。
立方和:S3(n) = 1/4 * (n2)2 * (n2 + 1)2 / n = 1/4 * n3 (n2 + 1)2。
...
說來,作高次冪和幻方以及不同階的平方幻方的找尋,還是我國的學者高一手:汕頭大學 (Shantou University) 的陳欽梧 (Qinwu Chen)、陳沐天 (Mutien Chen)、福州的蘇茂挺 (Maoting Su) 和西藏的潘鳳雛 (Fengche Pen) 等。其中陳欽梧找出 14 階 和 15 階的平方幻方,而潘鳳雛找到 238 階 13 次幻方和 244 階 14 次幻方,也可謂之一時無倆了。
參考文獻及網址:
陳欽梧. 陳欽梧幻方世界. http://cslab.stu.edu.cn/.
Boyer, C. Multimagic Square Site. http://www.multimagie.com/indexengl.htm.
Pickover, C. A. The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. New Jersey : Princeton University Press , 2002