卡倫素數

稀少的卡倫素數

1905年，愛爾蘭人卡倫 (James Cullen 1867-1933) 提出關注型如 n*2ⁿ+1 的數的素性 (Primality)，後人稱此為 卡倫數 (Cullen Number) ，並記作 C_n ，而當中的素數，便是卡倫素數 (Cullen Prime)。卡倫發現當 n 小於 100 時， C_n 全是合數，只有 n = 1 和 53 例外：C₁ = 3 是素數，C₅₃ 則未能分辨其素性。

其後，坎寧安 (Allan Joseph Champneys Cunningham 1842-1928) 求得 C₅₃ 有一素因子是 5591，因而證明 C₅₃ 也是合數，且在 n 小於 200 內也找不到卡倫素數，惟一例外是 n = 141 ，因坎寧安未能證明這數是合數，還是素數。

因而尋找卡倫素數的工作顯得渺茫，甚至有人懷疑其存在與否。

　

半世紀過後，魯賓遜 (Raphael M. Robinson 1911-1994) 在 1957 年證明了 C₁₄₁ 是卡倫素數，且證明了，它是 n 在 1000 以內惟一的一個卡倫素數，至此尋找卡倫素數的工作取得特破進展。又過了近三十年，1984年凱勒 (Wilfrid Keller 1937- ) 又找到四個卡倫素數，即 n= 4713、5795、6611和 18496。當時連同 n = 1 和 141 這 6 數對應 C_n 全是素數，即共有 6 個卡倫素數。

數學家胡利 (Christopher Hooley) 提出幾乎所有卡倫數的合數，到底是否屬實，我們仍未確定。

　

卡倫數素性提示

正如坎寧安所言，卡倫素數相當稀少，會不會只有有限個呢？這是其中一個令人有興趣的課題。

但我們知道一點是卡倫數可被 p = 2n-1 整除。若 p 是 8k+3 或 8k-3 型之素數。這一特性在判斷卡倫數的素性上有一定作用。

我們以 n = 1 至 10 來看看，如看下示：

n	Cn = n*2n+1	p = 2n-1	p 之素性	Cn 之素性
1	3	1	單位	素數
2	9	3	素數 (8k+3 型)	合數 (32)
3	25	5	素數 (8k-3 型)	合數 (52)
4	65	7	素數	合數 (5*13)
5	161	9	合數	合數 (7*23)
6	385	11	素數 (8k+3 型)	合數 (5*7*11)
7	897	13	素數 (8k-3 型)	合數 (3*13*23)
8	2049	15	合數	合數 (3*683)
9	4609	17	素數	合數 (11*419)
10	10241	19	素數 (8k+3 型)	合數 (72*11*19)

　

參考文獻及網址：

Ballinger, R. "Cullen Primes: Definition and Status." http://www.prothsearch.net/cullen.html.

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Cullen." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=6.

Guy, R. K. "Cullen Numbers." §B20 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 77, 1994.

Hooley, C., Applications of sieve methods to the theory of numbers, Cambridge Tracts in Math. volume 70, Cambridge University Press, Cambridge, pp. xiv+122, 1976.

Robinson, R. M. "A report on primes of the form k*2ⁿ + 1 and on factors of Fermat numbers," Proc. Amer. Math. Soc., 9 p.673--681, 1958.

Weisstein, E. W. "Cullen Number." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/CullenNumber.html .