佩爾數列

佩爾數列 (Pell Sequence) 和盧卡斯數列 (Lucas Sequence) 、費波拿契數列 (Fibonacci Sequence) 有等都是由同一條數公式生成,只不過參數有別,詳見《盧卡斯數列》一文。

Un(P,Q) = (an - bn) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = an + bn

其中 a、b 為方程 x2 - Px + Q = 0 的根。

 

若取 (P,Q) = (2,-1),我們便有 Un 為佩爾數 (Pell Number),Vn 為佩爾 - 盧卡斯數 (Pell - Lucas Number),這兩數列正是本章主角。

其實佩爾數 (簡記 Pn) 和佩爾 - 盧卡斯數 (簡記 Qn) 都乎合下面的遞推關係式 (Recurrence Relation):

Pn = 2Pn-1 + Pn-2 ; Qn = 2Qn-1 + Qn-2

 

因而我們可以簡易地求出這兩條數列:

佩爾數列:P0 = 0,接著有 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ...... (OEIS A000129)。當中的素數,便是佩爾素數 (Pell Prime),如 2, 5, 29 等出現在第 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, ...... 個佩爾數中。(OEIS A096650)。有一點和費波拿契素數 (Fibonacci Prime) 相同是,佩爾素數只會出現在素序數 (Prime Order) 的佩爾數中。

佩爾 - 盧卡斯數列:Q0 = 2,接著有 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, ...... (OEIS A002203)。我們不難理解為何這數列會全是偶數。是故,我們討論素數時,即佩爾 - 盧卡斯素數 (Pell - Lucas Prime) 定義是該素數的 2 倍是一佩爾 - 盧卡斯數。這樣的素數如 3, 7, 17, 41 等出現在第 2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, ...... 個佩爾 - 盧卡斯數中。(OEIS A099088)。

 

我們亦可以下列公式找到佩爾數和佩爾 - 盧卡斯數:

Pn =

Qn =

 

當然我們也有不少痤它‘H這兩數列充主角,現在讓我們看看吧:

Pm+n = PmPn+1 + Pm-1Pn

Pm+n = 2Pm Qm - (-1)nPm-n

Q2m = 2Qm2 - (-1)m

Qm2 = 2Pm2 + (-1)m

 

參考文獻及網址:

Weisstein, E. W. "Pell Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html.