費波拿契數列中的素數
意大利數學家費波拿契 (Leonardo Pisano Fibonacci 約1170 - 約1250)
(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )
小兔的啟示
所謂費波拿契數列 (Fibonacci Sequence) 簡稱 Fn，即 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... (OEIS A000045)
當中 F1 = F2 = 1，Fn+2 = Fn+1 + Fn (其中 n = 1,2,3,...)
我們也可定義 F0 = 0 。
當中的數便是費波拿契數 (Fibonacci Number)。
它是 13世紀意大利數學家費波拿契 (Leonardo Pisano Fibonacci 約1170-約1250) 研究一有趣的問題而產生，故以之為名。
什麼有趣的問題啊？
設每一對兔子每月會產下一對小兔，小兔一個月後會長大變成大兔。如果沒有死亡，問由一對大兔開始，一年後有多少對大兔呢？
我們不妨設開始時大兔的對數為 F1 ，一個月後的大兔的對數為 F2，兩個月後的大兔的對數為 F3，一般地 n 個月後的大兔的對數為 Fn+1 。
由題可知 F1 = 1，一個月後，牠們了生了一對小兔，但大兔的對數仍為 1，即 F2 = 1。再過了一個月，小兔長大了，大兔又生了一對小兔，大兔的對數成了 2 ，即 F3 = 2 。如此下起，我們有 F4 = 3 、 F5 = 5 、 F6 = 8 ....
一般的，第 n+1 個月以後的大兔對數是包含了兩個部份：一是原本第 n 個月以後的大兔對數，二上個月的小兔對數，因牠們成長了，成了大兔，這實是第 n-1 個月以後的大兔對數。故有 Fn+2 = Fn+1 + Fn 。
這數列 Fn 便是我們現在所言及的費波拿契數列。回到問題，一年以後，即 12 個月以後，即 F13 = 233 便是我們耍的答案了。
費波拿契數確特別
費波拿契數列的相鄰兩項之比是會趨向一個極值的，而這個極值正是我們經常說的黃金比 (Golden Ratio)，即 f = 1.618033988749894848204586834365 ...... (OEIS A001622)。這常數同是亦是方程 x2 - x - 1 = 0 的一個正實根。
其實費波拿契數有很多特別的地方：
F1
+ F2 + F3 +...+ Fn = Fn+2 -1
F2
+ F4 + F6 +...+ F2n = F2n+1 -1
F1
+ F3 + F5 +...+ F2n-1 = F2n
F12
+ F22 + F32 +...+ Fn2
= Fn Fn+1
Fn+12
= FnFn+2 + (-1)n
F2n
= Fn+12 - Fn-12
F3n
= Fn+13 + Fn3 - Fn-13
當中亦有一些著名的恒等式和費波拿契數相關：
Fn2
- Fn+rFn-r = (-1)n-rFr2
(卡塔蘭恒等式 Catalan's Identity)
FmFn+1
- Fnm+1 = (-1)nFn+m (迪奧卡尼恒等式 d'Ocagne's
Identity)
Fn4
- Fn-2Fn-1Fn+1Fn+2 = 1 (格林 - 切薩羅恒等式
Gelin - Cesaro's Identity)
Fn-1Fn+1
- Fn2 = (-1)n (卡西尼恒等式 Cassini's Identity)
我們亦可以下式計出費波拿契數的值：
費波拿契數列的生成函數 (Generating Function) 為：
我們亦可從帕斯卡三角形 (Pascal's Triangle) 中找到費波拿契數列：
費波拿契素數
而我們有興趣是當中出現的素數：F3=2 、 F4=3 、 F5=5 、 F7=13 、 F11=89 、 F13=233 、 F17=1597 、F23=28657 、 F29=514229 、 ... 我們稱這些素數為費波拿契素數 (Fibonacci Prime)。 (OEIS A005478 及 A001605)
我們不難發現除了 F4 = 3 以外，其餘的第 p 個費波拿契數 ( p 是素數) Fp 也是素數。原來所有費波拿契素數，除了 F4 = 3 以外，都有一素序數 (Prime Order)。但反之則未必成立，如 F19 = 4181 = 37 * 113、 F31 = 1346269 = 557 * 2417 ：即不是所有有素次數的費波拿契數也是素數。我們 已知 Fn 是 Fnm 的因子。是故我們討論的費波拿契素數全是由 Fp 或記成 F(p) 中找出來的，其中 p 是素數。但是否有無限多個費波拿契素數也是未知之事，但數學家們傾向認為這存有無限多個費波拿契素數。
參考文獻及網址：
Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Fibonacci Number." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=39.
Gardner, M. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. New York: Knopf, 1979.
Weisstein, E. W. "Fibonacci Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html.
Weisstein, E. W. "Golden Ratio." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html.
