費馬數的素因子

費馬素數

F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537

我們知道是素數的費馬數 (Fermat Number) ,即費馬素數 (Fermat Prime) 僅上列五個。甚至有數學家以為只有這五個,這當然未被證實,但這也會使熱衷於費馬數研究的人們感到失望,於是有數學家轉向費馬數的因子,即費馬數因子 (Fermat Number Divisor) 入手。

 

已完全分解的費馬合數

我但知道費馬數 Fm 的因子必為 k*2n+1 的型式,其中 n 不少於 m+2。下表列出一些已完全分解的費馬合數 (Fermat Composite) 。

m
k
n
發現者
年份
5
5
7
歐拉 (Leonhard Euler)
1732
52347
7
歐拉 (Leonhard Euler)
1732
6
1071
8
哥洛森 (Thomas Clausen) / 蘭德里 (Fortune Landry)
1880
262814145745
8
哥洛森 (Thomas Clausen) / 蘭德里 (Fortune Landry) / 利納西桑 (H. Le Lasseur)
1880
7
116503103764643
9
莫里森 (Michael A. Morrison) /卜利爾哈特 (John David Brillhart)
1970
11141971095088142685
9
莫里森 (Michael A. Morrison) /卜利爾哈特 (John David Brillhart)
1970
8
604944512477
11
布勒恩特 (Richard Brent) / 波納德 (J. M. Pollard)
1980
一長 59 數位的整數
11
布勒恩特 (Richard Brent) / 波納德 (J. M. Pollard)
1980
9
37
16
外斯滕 (A.E. Western)
1903
3640431067210880961102244011816628378312190597
11
倫斯特拉 (Arjen Klass Lenstra) / 文拿斯 (Mark S. Manasse)
1990
一長 96 數位的整數
11
倫斯特拉 (Arjen Klass Lenstra) / 文拿斯 (Mark S. Manasse)
1990
10
11131
12
塞爾弗里奇 (John L. Selfridge)
1953
395937
14
卜利爾哈特 (John Brillhart)
1962
1137640572563481089664199400165229051
12
布勒恩特 (Richard Brent)
1995
一長 248 數位的整數
13
布勒恩特 (Richard Brent)
1995
11
39
13
坎寧安 (Allan Joseph Champneys Cunningham)
1899
119
13
坎寧安 (Allan Joseph Champneys Cunningham)
1899
10253207784531279
14
布勒恩特 (Richard Brent)
1988
434673084282938711
13
布勒恩特 (Richard Brent)
1988
一長 560 數位的整數
13
布勒恩特 (Richard Brent) / 莫蘭 (Francois Morain)
1988

若我們以連乘式表示,則如下一樣:

F5 = 641 * 6700417
F6 = 274177 * 67280421310721
F7 = 59649589127497217 * 5704689200685129054721
F8 = 1238926361552897 * 素數 (P62)
F9 = 2424833 * 7455602825647884208337395736200454918783366342657 * 素數 (P99)
F10 = 45592577 * 6487031809 * 4659775785220018543264560743076778192897 * 素數 (P252)
F11 = 319489 * 974849 * 167988556341760475137 * 3560841906445833920513 * 素數 (P564)

上數式中的素數皆已求出,但礙於數位太長,不便列寫。

 

已局部分解的費馬合數

下表列出已局部分解的費馬合數:

m
k
n
發現者
年份
12
7
14
盧卡斯 (Edouard Lucas) / 佩爾武申 (Ivan Mikheevich Pervusin)
1877
397
16
外斯滕 (A.E. Western)
1903
973
16
外斯滕 (A.E. Western)
1903
11613415
14
哈利貝頓 (John C. Hallyburton) / 卜利爾哈特 (John David Brillhart)
1974
76668221077
14
巴利爾 (Robert Baillie)
1986
  17353230210429594579133099699123162989482444520899 15 雲克 (Michael Vang) / 司馬文 (Paul Zimmermann) / 古柏 (Alexander Kruppa) 2010
13
41365885
16
哈利貝頓 (John C. Hallyburton) / 卜利爾哈特 (John David Brillhart)
1974
20323554055421
17
克蘭特爾 (Richard E. Crandall)
1971
6872386635861
19
克蘭特爾 (Richard E. Crandall)
1971
609485665932753836099
19
布勒恩特 (Richard Brent)
1995
14 17353230210429594579133099699123162989482444520899 16 夏查拉 (Tapio Rajala) / 沃爾特曼 (George F. Woltman) 2010
15
579
21
克拉依切克 (Maurice Borisovich Kraitchik)
1925
17753925353
17
哥斯甸 (Gary B. Gostin)
1987
1287603889690528658928101555
17
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) / 雲夏里因 (Chris van Halewyn)
1997
16
1575
19
塞爾弗里奇 (John L. Selfridge)
1953
180227048850079840107
20
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) / 迪切爾 (Karl Dilcher)
1996
17
59251857
19
哥斯甸 (Gary B. Gostin)
1978
18
13
20
外斯滕 (A.E. Western) / 證素數:西爾霍夫 (Paul Seelhoff 1886)
1903
9688698137266697
23
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) / 麥因杜殊 (Richard McIntosh) / 泰迪夫 (Claude Tardif )
1999
19
33629
21
黎塞爾 (Hans Riesel)
1962
308385
21
華特荷爾 (Claude P. Wrathall)
1963
  8962167624028624126082526703 22 比素爾 (David Bessell) / 沃爾特曼 (George F. Woltman) 2009
21
534689
23
華特荷爾 (Claude P. Wrathall)
1963
22 3853959202444067657533632211 24 比素爾 (David Bessell) / 沃爾特曼 (George F. Woltman) 2010
23
5
25
佩爾武申 (Ivan Mikheevich Pervusin)
1878

若我們以連乘式表示,則如下一樣:

F12 = 114689 * 26017793 * 63766529 * 190274191361 * 1256132134125569 * 568630647535356955169033410940867804839360742060818433 * 合數 (C1133)
F13 = 2710954639361 * 2663848877152141313 * 3603109844542291969 * 319546020820551643220672513 * 合數 (C2391)
F14 = 116928085873074369829035993834596371340386703423373313 * 合數 (C4880)
F15 = 1214251009 * 2327042503868417 * 168768817029516972383024127016961 * 合數 (C9808)
F16 = 825753601 * 188981757975021318420037633 * 合數 (C19694)
F17 = 31065037602817 * 合數 (C39444)
F18 = 13631489 * 81274690703860512587777 * 合數 (C78884)
F19 = 70525124609 * 646730219521 * 37590055514133754286524446080499713 * 合數 (C157770)
F21 = 4485296422913 * 合數 (C631294)
F22 = 64658705994591851009055774868504577 * 合數 (C1262577)
F23 = 167772161 * 合數 (C2525215)

還有很多費馬數,只知一或兩個因子的,本頁不作冗列了,詳可參看 http://www.prothsearch.net/fermat.html

 

參考文獻及網址:

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Fermat Divisor ." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=8.

Keller, W. "Prime Factors k.2n + 1 of Fermat Numbers Fm and Complete Factoring Status." http://www.prothsearch.net/fermat.html

Weisstein, E. W. "Fermat Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html.