費馬數的素因子
費馬素數
F0 = 3 |
F1 = 5 |
F2 = 17 |
F3 = 257 |
F4 = 65537 |
我們知道是素數的費馬數 (Fermat Number) ，即費馬素數 (Fermat Prime) 僅上列五個。甚至有數學家以為只有這五個，這當然未被證實，但這也會使熱衷於費馬數研究的人們感到失望，於是有數學家轉向費馬數的因子，即費馬數因子 (Fermat Number Divisor) 入手。
已完全分解的費馬合數
我但知道費馬數 Fm 的因子必為 k*2n+1 的型式，其中 n 不少於 m+2。下表列出一些已完全分解的費馬合數 (Fermat Composite) 。
m |
k |
n |
發現者 |
年份 |
5 |
5 |
7 |
歐拉 (Leonhard Euler) |
1732 |
52347 |
7 |
歐拉 (Leonhard Euler) |
1732 |
|
6 |
1071 |
8 |
哥洛森 (Thomas Clausen) / 蘭德里 (Fortune Landry) |
1880 |
262814145745 |
8 |
哥洛森 (Thomas Clausen) / 蘭德里 (Fortune Landry) / 利納西桑 (H. Le Lasseur) |
1880 |
|
7 |
116503103764643 |
9 |
莫里森 (Michael A. Morrison) /卜利爾哈特 (John David Brillhart) |
1970 |
11141971095088142685 |
9 |
莫里森 (Michael A. Morrison) /卜利爾哈特 (John David Brillhart) |
1970 |
|
8 |
604944512477 |
11 |
布勒恩特 (Richard Brent) / 波納德 (J. M. Pollard) |
1980 |
一長 59 數位的整數 |
11 |
布勒恩特 (Richard Brent) / 波納德 (J. M. Pollard) |
1980 |
|
9 |
37 |
16 |
外斯滕 (A.E. Western) |
1903 |
3640431067210880961102244011816628378312190597 |
11 |
倫斯特拉 (Arjen Klass Lenstra) / 文拿斯 (Mark S. Manasse) |
1990 |
|
一長 96 數位的整數 |
11 |
倫斯特拉 (Arjen Klass Lenstra) / 文拿斯 (Mark S. Manasse) |
1990 |
|
10 |
11131 |
12 |
塞爾弗里奇 (John L. Selfridge) |
1953 |
395937 |
14 |
卜利爾哈特 (John Brillhart) |
1962 |
|
1137640572563481089664199400165229051 |
12 |
布勒恩特 (Richard Brent) |
1995 |
|
一長 248 數位的整數 |
13 |
布勒恩特 (Richard Brent) |
1995 |
|
11 |
39 |
13 |
坎寧安 (Allan Joseph Champneys Cunningham) |
1899 |
119 |
13 |
坎寧安 (Allan Joseph Champneys Cunningham) |
1899 |
|
10253207784531279 |
14 |
布勒恩特 (Richard Brent) |
1988 |
|
434673084282938711 |
13 |
布勒恩特 (Richard Brent) |
1988 |
|
一長 560 數位的整數 |
13 |
布勒恩特 (Richard Brent) / 莫蘭 (Francois Morain) |
1988 |
若我們以連乘式表示，則如下一樣：
F5 = 641 * 6700417
F6 = 274177 * 67280421310721
F7 = 59649589127497217 * 5704689200685129054721
F8 = 1238926361552897 * 素數 (P62)
F9 = 2424833 * 7455602825647884208337395736200454918783366342657
* 素數 (P99)
F10 = 45592577 * 6487031809 * 4659775785220018543264560743076778192897
* 素數 (P252)
F11 = 319489 * 974849 * 167988556341760475137 * 3560841906445833920513
* 素數 (P564)
上數式中的素數皆已求出，但礙於數位太長，不便列寫。
已局部分解的費馬合數
下表列出已局部分解的費馬合數：
m |
k |
n |
發現者 |
年份 |
12 |
7 |
14 |
盧卡斯 (Edouard Lucas) / 佩爾武申 (Ivan Mikheevich Pervusin) |
1877 |
397 |
16 |
外斯滕 (A.E. Western) |
1903 |
|
973 |
16 |
外斯滕 (A.E. Western) |
1903 |
|
11613415 |
14 |
哈利貝頓 (John C. Hallyburton) / 卜利爾哈特 (John David Brillhart) |
1974 |
|
76668221077 |
14 |
巴利爾 (Robert Baillie) |
1986 |
|
| 17353230210429594579133099699123162989482444520899 | 15 | 雲克 (Michael Vang) / 司馬文 (Paul Zimmermann) / 古柏 (Alexander Kruppa) | 2010 | |
13 |
41365885 |
16 |
哈利貝頓 (John C. Hallyburton) / 卜利爾哈特 (John David Brillhart) |
1974 |
20323554055421 |
17 |
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) |
1971 |
|
6872386635861 |
19 |
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) |
1971 |
|
609485665932753836099 |
19 |
布勒恩特 (Richard Brent) |
1995 |
|
| 14 | 17353230210429594579133099699123162989482444520899 | 16 | 夏查拉 (Tapio Rajala) / 沃爾特曼 (George F. Woltman) | 2010 |
15 |
579 |
21 |
克拉依切克 (Maurice Borisovich Kraitchik) |
1925 |
17753925353 |
17 |
哥斯甸 (Gary B. Gostin) |
1987 |
|
1287603889690528658928101555 |
17 |
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) / 雲夏里因 (Chris van Halewyn) |
1997 |
|
16 |
1575 |
19 |
塞爾弗里奇 (John L. Selfridge) |
1953 |
180227048850079840107 |
20 |
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) / 迪切爾 (Karl Dilcher) |
1996 |
|
17 |
59251857 |
19 |
哥斯甸 (Gary B. Gostin) |
1978 |
18 |
13 |
20 |
外斯滕 (A.E. Western) / 證素數：西爾霍夫 (Paul Seelhoff 1886) |
1903 |
9688698137266697 |
23 |
克蘭特爾 (Richard E. Crandall) / 麥因杜殊 (Richard McIntosh)
/ 泰迪夫 (Claude Tardif ) |
1999 |
|
19 |
33629 |
21 |
黎塞爾 (Hans Riesel) |
1962 |
308385 |
21 |
華特荷爾 (Claude P. Wrathall) |
1963 |
|
| 8962167624028624126082526703 | 22 | 比素爾 (David Bessell) / 沃爾特曼 (George F. Woltman) | 2009 | |
21 |
534689 |
23 |
華特荷爾 (Claude P. Wrathall) |
1963 |
| 22 | 3853959202444067657533632211 | 24 | 比素爾 (David Bessell) / 沃爾特曼 (George F. Woltman) | 2010 |
23 |
5 |
25 |
佩爾武申 (Ivan Mikheevich Pervusin) |
1878 |
若我們以連乘式表示，則如下一樣：
F12 = 114689 * 26017793 * 63766529 * 190274191361
* 1256132134125569 * 568630647535356955169033410940867804839360742060818433 * 合數 (C1133)
F13 = 2710954639361 * 2663848877152141313 * 3603109844542291969
* 319546020820551643220672513 * 合數 (C2391)
F14 = 116928085873074369829035993834596371340386703423373313 * 合數 (C4880)
F15 = 1214251009 * 2327042503868417 * 168768817029516972383024127016961
* 合數 (C9808)
F16 = 825753601 * 188981757975021318420037633 * 合數 (C19694)
F17 = 31065037602817 * 合數 (C39444)
F18 = 13631489 * 81274690703860512587777 * 合數 (C78884)
F19 = 70525124609 * 646730219521 * 37590055514133754286524446080499713 * 合數 (C157770)
F21 = 4485296422913 * 合數 (C631294)
F22 = 64658705994591851009055774868504577 * 合數 (C1262577)
F23 = 167772161 * 合數 (C2525215)
還有很多費馬數，只知一或兩個因子的，本頁不作冗列了，詳可參看 http://www.prothsearch.net/fermat.html
。
