條條大路通羅馬
中國數學家華羅庚 (1910-1985)
(照片取自「中國數學會」http://www.cms.org.cn/ )
圓法
有人把哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 比喻為數學皇冠上的一顆瑰麗寶石，這不是誇張。1995 年英國數學家懷爾斯 (Andrew Wiles 1953- ) 或譯維爾斯證明了數論 (Number Theory) 三大難題之一的費馬大定理 (Fermat's Last Theorem) 已為他取得數學界不少獎項和榮譽，連數學界最高榮譽菲爾茲獎 (Fields Medals) 也破格授他一枚特別獎章。 (菲爾茲獎只頒授給未及四十歲的年輕數學家，而 1998 年懷爾斯領獎時已屆 45 歲。) 若有人真的把這寶石擷下，所引來的獎項和榮譽也是空前的。
正因如此，二百年來不少數學家為此窮盡一生，也未見寸進。於是有人相信證明工作不是一人之力可以完成，是必須把前人經驗積聚，不斷改進才行。於是 1900年，德國數學大師希爾伯特 (David Hilbert 1862-1943) 在巴黎舉行的第二屆國際數學家會議 (International Congresses of Mathematicians) 上為十九世紀的數學工作總結時，把這問題納進其廿三條數學未解之謎中的第八題，希望作一承先啟後，讓後人更易攀登此數學高峰。
1912年，四年一度的國際數學家會議又舉行了，這次已是第五屆，是在英國劍橋，德國數學家蘭道 (Edmund Georg Herman Landau 1877-1938) 在大會上把哥德巴赫猜想和另外三道素數難題以「不可攻破」來形容，更為此提出了一個降低猜想條件的命題：「存在一正整數 C ，使每一個大於 1 的整數都可表示成不超過 C 個素數之和。」若最終可把 C 的值收小，在不少於 6 的偶數中把 C 收小至 2 便把哥德巴赫猜想證明了。但蘭道本人仍不太樂觀，他認為：「這是現代數學家力所不能 完成的。」這一提案為數學家開了一條正面進攻哥德巴赫猜想的路，在數學上人們稱此為「弱型哥德巴赫問題 (Weak Goldbach Problem)」。於是人們開始苦思 C = 2 的法徑。
1937年，俄國數論大師維諾格拉多夫 (Ivan Matveevich Vinogradov 1891-1983) 應用了英國數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy 1877-1947) 和李特伍德 (John Edenser Littlewood 1885-1977) 所創造的 哈代 - 李特伍德圓法 (Hardy - Littlewood Circle Method)，簡稱「圓法」 (Circle Method) 和自己創立的「三角和法」，證明了猜想的推論：「充分大的奇數可以表示為 3 個奇素數之和」(又稱作「華林素數猜想 (Waring's Prime Number Conjecture) 」 ) 是正確的。這即證明了哥德巴赫猜想中的關於奇數的命題。這結果我們稱為維諾格拉多夫定理 (Vinogradov's Theorem) 。由此推論每一個充分大的正整數均可寫成 4 個奇素數之和，即把 C 值限在 4 以下。
然而「圓法」至此停了，但哈代仍堅信最後可證明哥德巴赫猜想的是「圓法」。問題未能解決不是「圓法」無功，只是他和李特伍德的能 力未及而已。
概率法
1938年 ，我國著名數學家華羅庚 (Hua, Luogeng 1910-1985) 透過概率的方法，證明了某大整數 x 以內使哥德巴赫猜想不成立的偶數個數 E(x) 很小：「幾乎全體偶整數都能表示成兩個素數之和」。若得 E(x) = 1 ，也就是說哥德巴赫猜想得證，然而至今未及。但華羅庚的成就是不可否定的，這便是著名的「華氏定理 (Hua's Theorem)」的由來。
現在我們通稱這方法為尋找例外集合 (Set)，即設 E(x) = xk，而把 k 的上界 (Upper Bound) 下降至 0。現在最佳結果為李紅澤於 2000年得到的 0.92。
很多業餘數學家試從概率入手，但這早已為人得證，這和證明哥德巴赫猜想還距甚遠。
篩法
想證明哥德巴赫猜想的人會從不同角度設法登上頂峰，有人從各種推論入手，有人希望找到一個反例 (Counterexample)，也有人從最古老的「篩法 (Sieve Method)」中尋找路徑。 (這「篩法」即埃拉托斯特尼篩法 (Sieve of Eratosthenes) 或簡稱「埃氏篩」，是由古希臘數學家埃拉托斯特尼 (Eratosthenes 約前200) 創立用以尋找素數的。)
我們知道任一不小於 6 的偶數定必可寫成兩奇數之和，這奇數或是素數，或是合數。若是合數，必可分解成某一定數以內的素數乘積。我們可以用這 a+b 或 (a+b) 來表示第一個奇數為一不多於 a 個素數乘積的數 (即 a 次 殆素數 Almost Prime)，而第二個奇數則為一不多於 b 個素數乘積的數 (即 b 次 殆素數)。我們看看 1+1 或 (1+1) ，這即是說任一不小於 6 的偶數定必可寫成兩奇數之和，而這兩個奇數全只有一素因子，即是素數，這即我們的哥德巴赫猜想 。於是自此以後，尋求哥德巴赫猜想的證明，就等同證明一條連小學生也明白的數式 「1+1 」了。當然不用我多說，這只是玩弄文字遊戲，但說小學生也明白什麼是哥德巴赫猜想也不為過。
數學家把這一種逐步逼近猜想的方法稱為「因子哥德巴赫問題」或「殆素數之和 (Sum of Almost Primes)」。
最先提出且使用這方法的是挪威數學家布倫 (Viggo Brun 1885 - 1978) ，他於 1920年用篩法證明了「每一個大偶數均可表達成兩個素因子數不超過 9 的奇數之和」，即 (9+9) 吧。自此以後，數學家便像便像奧林匹克運動會的健兒一樣，不斷地刷新新紀錄。
1924年，德國數學拉德馬赫 (Hans Rademacher 1892-1969) 證明了 (7+7)。
1932年，英國數學家愛斯特曼 (T. Estermann) 證明了 (6+6)。
1937年，意大利數學家蕾西 (G. Ricci) 證明了 (5,7)、(4,9)、(3,15)、(2,366) 等多個結果。
1938年，俄國數學家布赫施塔伯 (A. A. Buchstab) 證明了 (5+5)。
1940年，他又再證明了 (4+4)。
1948年，匈牙利數學家瑞尼 (Alfred Renyi 1921-1969) 證明了 (1+6) 首次接觸到 1 這一個數。
1956年，俄國數學家維諾格拉多夫證明了 (3+3)。
1957年，我國數學家王元 (Yuan Wang 1930- ) 證明了 (2+3)。
1962年，當時只得 28歲的我國數學家潘承洞 (Chengdong Pan 1934-1997) 證明了 (1+5)。潘承洞理解到 (1+B) 中的 B 是受著素數在算術級數中平均分佈水平 q 的影響。潘承洞把 q 推至 1/3 而得 (1+5) 的結果。
1963年，王元、潘承洞等分別證明了 (1+4)，把 q 推至 3/8：我們不難發現 q 越大，B 越小。但這 q 不可能「過大」，因為這會使均值定理 (Mean Value Theorem) 的型式起變化，最大值是 1/2。
1965年，這 1/2 達到了，這便是邦別里 - 維諾格拉多夫定理 (Bombieri - Vinogradov's Theorem) ，但這 q = 1/2 也未能證明哥德巴赫猜想。俄國數學家小維諾格拉多夫 (Askold Ivanovich Vinogradov 1929 - 2005) 和意大利數學家邦別里 (Enrico Bombieri 1940 - ) 先後證明 (1+3)。其中邦別里更因此獲得 1974 年的菲爾茲獎。
而最新的紀錄是我國數學家陳景潤 (Jingrun Chen 1933-1996) 於 1973年發表的 (1+2)，即「任何大偶數皆可表為一素數和一不多兩素因子的殆素數之和」。其實陳景潤早於 1966 年已證明了 (1+2)，但由於當時中國政局動盪，故陳景潤才於 1973 年待文化大革命過後，把其研究成果發表。而這七年間，陳景潤致力簡化其證明，好讓後人易於明白和利用。正當陳景潤發表其 (1+2) 的證明時，英國數學家哈伯斯坦姆 (Heini Halberstam) 和德國數學家黎希特 (Hans Egon Richert 1924 - 1993) 合著的一本名叫《篩法》的數論專書，原有十章，付印後見到陳景潤的證明，立即叫停印刷商，為之多添一章，名為「陳氏定理」(Chen's Theorem)。他們認為 (1+2) 的證明是運用篩法最完美的成就之一。
中國數學家的努力
大家不難發現，我國數學工作者在這問題上下了不少苦功，如華羅庚、王元、潘承洞、陳景潤等，而自華羅庚研究堆疊數論 (Additive Number Theory) 的問題上起，他亦鼓勵他的學生如王元、陳景潤等研習數論，使之成為一研究隊伍，為解決數論難題奠下基石。從華羅庚為數學而死以至他的學生們為研習數學付出的努力來看，他們雖不曾取得任何世界數學的獎項，卻不能磨滅他們的貢獻，正如陳氏定理一詞已記下他們的功勞。現在華羅庚、陳景潤、潘承洞等先後辭世，但我們相信中國研習數論的人不會就此減退，新的一代很快又會在世界數壇留下他們的名字。
