不存在的一種素數
中國數學家孫智偉 (Zhiwei Sun 1965- )
(照片取自「南京大學數學系」http://tres.nju.edu.cn/search/detail.aspx?lomid=00001776 )
若素數 p 大於 5 且使 p2 整除 F(p - (5/p))，p 便是沃爾 - 孫 - 孫素數 (Wall - Sun - Sun Prime)。
這裡的 (5/p) 為 勒讓德符號 (Legendre Symbol，相關介紹可參考《勒讓德符號》一文)。當 p = 1, 4 (mod 5) 時，(5/p) = 1；當 p = 2, 3 (mod 5) 時，(5/p) = -1。
而 F(k) 為第 k 個費波拿契數 (Fibonacci Number)。
看看下面的例子吧！
素數 p |
(5 / p) |
k = p - (5 / p) |
第 k 個費波拿契數 |
p2 |
F(k) (mod p2) |
7 |
-1 |
8 |
21 |
49 |
21 |
11 |
1 |
10 |
55 |
121 |
55 |
13 |
-1 |
14 |
377 |
169 |
39 |
17 |
-1 |
18 |
2584 |
289 |
272 |
19 |
1 |
18 |
2584 |
361 |
57 |
23 |
-1 |
24 |
46368 |
529 |
345 |
29 |
1 |
28 |
317811 |
841 |
754 |
31 |
1 |
30 |
832040 |
961 |
775 |
37 |
-1 |
38 |
39088169 |
1369 |
481 |
41 |
1 |
40 |
102334155 |
1681 |
1599 |
我們不難發現費波拿契數是可被 p 整除，其實這對任何素數皆成立，但卻不可被 p2 整除，所以以上所列的都不是沃爾 - 孫 - 孫素數。其中上表最末一行的餘數，可參考 OEIS A113650 。
各位讀者不如找別的素數來試吧。但恐怕又得害大家失望多一次了。
沃爾 - 孫 - 孫素數，為何這種素數的名稱如此怪呢？那得上一節歷史課了。
1960 年，美國數學家 沃爾 (Donald Dines Wall 1921 - 2000) 提出猜想，是否存在這類素數。或許當時，沃爾和英國數學家 威爾遜 (John Wilson 1741-1793) 建構 威爾遜素數 (Wilson Prime) 或德國數學家 韋伊費列治 (Arthur Wieferich 1884-1954) 建構 韋伊費列治素數 (Wieferich Prime) 的原理一樣，把一些對所有素數 p 均成立的定理收窄至針對 p2 。或許不同的只是威爾遜和韋伊費列治也找到一些實例，但沃爾找不到。(關於上述兩類素數，大家可參看另文《小素民族》。)
1992 年，中國數學家 孫智宏 (Zhihong Sun 1965- ) 和 孫智偉 (Zhiwei Sun 1965- ) 這對孖生兄弟，一同證明了若費馬大定理 (Fermat's Last Theorem) 若對素數 p 存有反例 (Counterexample)，即該素數 p 使費馬大定理不成立，則該素數 p 應是沃爾 - 孫 - 孫素數了，該素數的名字便如此而來。所謂費馬大定理，即 xn + yn = zn ，當 n 大於 2 時沒有非零整數解，這問題曾被譽為「數理的三大難題之一」，更困擾了數學界近四百年。在當時，不論把該猜想證明還是推翻，同樣會名成利就。於是很多數學家著意找尋沃爾 - 孫 - 孫素數，期望推翻費馬大定理。
但隨著費馬大定理於 1995 年被英國數學家懷爾斯 (Andrew Wiles 1953 - ) 和他的學生理察．泰勒 (Richard Taylor 1962- ) 證明成立以後，也即表示不會存在使它不成立的反例，故沃爾 - 孫 - 孫素數這種型式的素數也不會存在，沃爾 - 孫 - 孫素數這個名字也和以往諸君的努力一樣成為歷史了。
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Wall - Sun - Sun Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Wall-Sun-SunPrime.html.
