不存在的一種素數

中國數學家孫智偉 (Zhiwei Sun 1965- )

(照片取自「南京大學數學系」http://tres.nju.edu.cn/search/detail.aspx?lomid=00001776 )

 

 

若素數 p 大於 5 且使 p2 整除 F(p - (5/p)),p 便是沃爾 - 孫 - 孫素數 (Wall - Sun - Sun Prime)。

這裡的 (5/p) 為 勒讓德符號 (Legendre Symbol,相關介紹可參考《勒讓德符號》一文)。當 p = 1, 4 (mod 5) 時,(5/p) = 1;當 p = 2, 3 (mod 5) 時,(5/p) = -1。

而 F(k) 為第 k 個費波拿契數 (Fibonacci Number)。

 

看看下面的例子吧!

素數 p
(5 / p)
k = p - (5 / p)
第 k 個費波拿契數
p2
F(k) (mod p2)
7
-1
8
21
49
21
11
1
10
55
121
55
13
-1
14
377
169
39
17
-1
18
2584
289
272
19
1
18
2584
361
57
23
-1
24
46368
529
345
29
1
28
317811
841
754
31
1
30
832040
961
775
37
-1
38
39088169
1369
481
41
1
40
102334155
1681

1599

 

我們不難發現費波拿契數是可被 p 整除,其實這對任何素數皆成立,但卻不可被 p2 整除,所以以上所列的都不是沃爾 - 孫 - 孫素數。其中上表最末一行的餘數,可參考 OEIS A113650

各位讀者不如找別的素數來試吧。但恐怕又得害大家失望多一次了。

 

沃爾 - 孫 - 孫素數,為何這種素數的名稱如此怪呢?那得上一節歷史課了。

1960 年,美國數學家 沃爾 (Donald Dines Wall 1921 - 2000) 提出猜想,是否存在這類素數。或許當時,沃爾和英國數學家 威爾遜 (John Wilson 1741-1793) 建構 威爾遜素數 (Wilson Prime) 或德國數學家 韋伊費列治 (Arthur Wieferich 1884-1954) 建構 韋伊費列治素數 (Wieferich Prime) 的原理一樣,把一些對所有素數 p 均成立的定理收窄至針對 p2 。或許不同的只是威爾遜和韋伊費列治也找到一些實例,但沃爾找不到。(關於上述兩類素數,大家可參看另文《小素民族》。)

1992 年,中國數學家 孫智宏 (Zhihong Sun 1965- ) 和 孫智偉 (Zhiwei Sun 1965- ) 這對孖生兄弟,一同證明了若費馬大定理 (Fermat's Last Theorem) 若對素數 p 存有反例  (Counterexample),即該素數 p 使費馬大定理不成立,則該素數 p 應是沃爾 - 孫 - 孫素數了,該素數的名字便如此而來。所謂費馬大定理,即 xn + yn = zn ,當 n 大於 2 時沒有非零整數解,這問題曾被譽為「數理的三大難題之一」,更困擾了數學界近四百年。在當時,不論把該猜想證明還是推翻,同樣會名成利就。於是很多數學家著意找尋沃爾 - 孫 - 孫素數,期望推翻費馬大定理。

但隨著費馬大定理於 1995 年被英國數學家懷爾斯 (Andrew Wiles 1953 - ) 和他的學生理察.泰勒 (Richard Taylor 1962- ) 證明成立以後,也即表示不會存在使它不成立的反例,故沃爾 - 孫 - 孫素數這種型式的素數也不會存在,沃爾 - 孫 - 孫素數這個名字也和以往諸君的努力一樣成為歷史了。

 

參考文獻及網址:

 

Weisstein, E. W. "Wall - Sun - Sun Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Wall-Sun-SunPrime.html.