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二、三、四之後是什麼?

前文介紹過數列中某一項等於前兩項之和的費波拿契數 (Fibonacci Number)、數列中某一項等於前三項之和的泰波拿契數 (Tribonacci Number) 以及數列中某一項等於前四項之和的迪達拿契數 (Tetranacci Number)。那麼五項、六項又如何?

原來早有數學家 (Mathematician) 研究過這樣的數列,還冠以相類似的名字:賓坦拿契數 (Pentanacci Number)、希辛拿契數 (Hexanacci Number)、協坦拿契數 (Heptanacci Number) 等。而當中的 Penta- 、Hexa- 、Hepta- 分別是代表五、六、七的字首。

 

賓坦拿契數

賓坦拿契數即把費波拿契數的概念推廣至五個數。

P0 = 0, P1 = P2 = 1, P3 = 2, P4 = 4, 以後的 Pn = Pn-1 + Pn-2 + Pn-3 + Pn-4 + Pn-5

即所謂費波拿契 N 步數 (Fibonacci N-step Number) 中取 n = 5。

我們有 Pn = 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, .... (OEIS A001591)

其中有 Pn = 2, 31, 61, 5976577,  .... 這些素數,我們稱為賓坦拿契素數 (Pentanacci Prime)。

 

其實賓坦拿契數可以由下式計算出來:

第二道式中的 x1 至 x5 便是 P(x) = 0 的五個根。

 

和費波拿契數列一樣,賓坦拿契數列 (Pentanacci Sequence) 相鄰兩項之比是趨向一個極值的。那極值我們稱為賓坦拿契常數 (Pentanacci Constant)。

該常數為 1.965948236645485337189937375934 ...... (OEIS A103814)

賓坦拿契常數亦是上方程  P(x) = 0 的一個正實根 (Positive Real Root)。

 

希辛拿契數

希辛拿契數即把費波拿契數的概念推廣至六個數。

H0 = 0, H1 = H2 = 1, H3 = 2, H4 = 4, H5 = 8, 以後的 Hn = Hn-1 + Hn-2 + Hn-3 + Hn-4 + Hn-5 + Hn-6

即所謂費波拿契 N 步數中取 n = 6。

我們有 Hn = 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, .... (OEIS A001592)

其中有 Hn = 2, 13435170943, 26649774581,  .... 這些素數,我們稱為希辛拿契素數 (Hexanacci Prime)。

 

其實希辛拿契數可以由下式計算出來:

第二道式中的 x1 至 x6 便是 P(x) = 0 的六個根。

 

和費波拿契數列一樣,希辛拿契數列 (Hexanacci Sequence) 相鄰兩項之比是趨向一個極值的。那極值我們稱為希辛拿契常數 (Hexanacci Constant)。

該常數為 1.983582843424326330385629293391 ...... (OEIS A118427)

希辛拿契常數亦是上方程  P(x) = 0 的一個正實根。

 

協坦拿契數

協坦拿契數即把費波拿契數的概念推廣至七個數。

H0 = 0, H1 = H2 = 1, H3 = 2, H4 = 4, H5 = 8, H6 = 16, 以後的 Hn = Hn-1 + Hn-2 + Hn-3 + Hn-4 + Hn-5 + Hn-6 + Hn-7

即所謂費波拿契 N 步數中取 n = 7。

我們有 Hn = 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, .... (OEIS A066178)

其中有 Hn = 2, 127, 31489,  .... 這些素數,我們稱為協坦拿契素數 (Heptanacci Prime)。

 

其實協坦拿契數可以由下式計算出來:

第二道式中的 x1 至 x7 便是 P(x) = 0 的七個根。

 

和費波拿契數列一樣,協坦拿契數列 (Heptanacci Sequence) 相鄰兩項之比是趨向一個極值的。那極值我們稱為 協坦拿契常數 (Heptanacci Constant)。

該常數為 1.991964196605035021097741754584 ...... (OEIS A118428)。

協坦拿契常數亦是上方程  P(x) = 0 的一個正實根。

 

 

參考文獻及網址:

Weisstein, E. W. "Heptanacci Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeptanacciConstant.html.

Weisstein, E. W. "Heptanacci Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeptanacciNumber.html.

Weisstein, E. W. "Hexanacci Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HexanacciConstant.html.

Weisstein, E. W. "Hexanacci Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HexanacciNumber.html.

Weisstein, E. W. "Pentanacci Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PentanacciConstant.html.

Weisstein, E. W. "Pentanacci Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PentanacciNumber.html.