一代大師黎曼

德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

　

德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866) 對中學生而言，或許是一個陌生的名字，畢竟他的工作大多不是中學生可以理解的。然而我們對他那劃時代的創見不得不肅然起敬，因為那是開創新數學的鑰匙。或許黎曼活多數年以致數十年，我們的數學發展會完全不同，但縱使他只留於世上三十九個寒暑，已給世界數學重大的改變了，而這改變一直延至現在。英國數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy 1877-1947) 曾說過：「數學是年輕人的遊戲。」他的說法也許過於偏激，然而我們的確看到許多數學家成名於幼時，也許是這個因由使許多人對數學卻步。但我們更得明白這群成名於幼年的數學家也幸得到師助、知識、啟發才可在數學中有所成就，不然緃有天才也不為世所知。我們更得對一群英年早逝的數學家致敬，因為他的光芒不曾因為生命短瞬而埋沒，他們對數學的熱情該是我們的典範，而黎曼正是其中一人。

　

黎曼生於 1826年 9月 17日，德國漢諾威 (Hanover)。他的父親是一名路德派的牧師，在父親的六名孩子中排行第二。由於家境貧困，黎曼的兄弟姐妹大多英年早逝，或許與他們幼時營養不足有關，他的母親更早在孩子們未成長之前已辭世了。儘管生活困苦，黎曼的成長也是愉快的。或許因為貧困而帶來的自卑，黎曼自幼便是一個膽怯，害怕公開演說的人，這也成為他日後研習的一個障阻。

　

黎曼上學時，他的害羞成為他同學間的笑料，他被孤立，他的學習只能依仗自己了。他的成績雖經短暫退步，但很快便回復出色的表現，但這沒有給他帶來什麼的安慰。他唯一的慰藉便是在家人生日中，用自己省下來的錢來晚的小禮物。一回，他送了一個自製的萬年曆給父母，這事令同學訝異，沒想到那羞怯的小子竟有如此作為。在中學時期，黎曼的健康還算可以，這也是他最快樂的光景。

　

中學校長施馬爾富斯 (Schmalfuss) 看到黎曼的數學才能，讓這孩子可隨意使用他的圖書館，又允許他可以不上數學課，這反倒使黎曼看到自已對數學天生的愛好。施馬爾富斯建議黎曼借些數學書回家自習，黎曼借了勒讓德 (Adrien Marie Legendre 1752 - 1833) 的《數論》(Theorie de Nombres)，這是一本厚 859 頁，大四開本，而內容全是令人乏味的詳細推論的一本書。6 天以後，黎曼把書拿回來，施馬爾富斯問他讀了多少，黎曼沒有回答，但他已經完全掌握書的內容，數個月後再問他書中的事，他仍可回答得很全面。這或許是使黎曼對素數 (Prime Number) 產生興趣的肇始，更成全了黎曼留給數學工作者的挑戰，黎曼猜想 (Riemann Hypothesis)。關於這個猜想，我們會在另文《黎曼猜想》中介紹。黎曼的自學，不僅使他接觸到勒讓德，也讓他接觸到歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783)，接觸到分析學，也最終成就了這位分析學的專家。

　

1846 年，黎曼 19歲時，進入了格丁根大學 (Georg-August University of Gottingen) 學習神學和哲學，父親希望他繼承那牧人的工作，但他離不開數學，最終他向其父親請求轉系，父親也同意他的要求，同時更認同了自己的孩子以數學為自己的事業。在格丁根大學讀了一年，黎曼聽過高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777-1855) 講最小二乘法 (Method of Least Squares) 的課。其後他便轉到柏林 (Berlin)，黎曼在柏林認識了雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi 1804-1851)、狄利克雷 (Peter Dirichlet 1805-1859)、艾森斯坦 (Gotthold Eisenstein 1823-1852) 等數學家。在艾森斯坦，這比黎曼年長三年的數學家身上，黎曼除了學習了橢圓函數 (Elliptic Function) 外，還學習了自信。由於黎曼與艾森斯坦在一些數學理論的發展上出現分歧，以致黎曼得為自己所堅持的力辯。

　

1849 年，黎曼回到格丁根大學並攻讀數學博士課程。1851年初，黎曼把他的博士論文《單複變函數一般理論的基礎》呈交高斯審查。高斯對黎曼的熱誠十分感動，黎曼的論文是少數獲得高斯這傳奇人物正面肯定的報告之一。黎曼順利通過答辯，當上一名助理。在 1854年，黎曼終於有機會當上講師之職，雖然只是沒有固薪的教職。在 6 月 10日，黎曼以《論作為幾何學基礎的假設》一文作就職演說，這篇演說黎曼早於上一年的聖誕開始預備了。那場演說十分成功，那篇文章正是我們所熟悉的「黎曼幾何」(Riemannian Geometry) 的啟章。

1855 年，高斯過世，狄利克雷接替高斯的工作，黎曼的朋友們極力要求提升黎曼至副教授，但由於大學經費緊拙，還是作罷。同年黎曼的父親和一名妹妺辭世，使黎曼更感沮喪。1857年，黎曼終於當上了助理教授的位置，但他的兄弟死了，照顧三名姐妹的責任便落在這貧困的教師身上。同年，他的么妹也把她的命交回上帝，黎曼更感惶惑。1858 年，黎曼寫了一編關於電學的文章，提交格丁根大學，我想若黎曼多活數年，或許他不只是一名數學界的偉人了。

　

狄利克雷於 1859 年與世長辭，黎曼接替了他的工作，黎曼的才華得以肯定。因為黎曼貧困，校方准許他居於天文台上，就像當年高斯一樣。黎曼的生活亦隨著他任命為教授而得到改善。1862 年黎曼結婚了，妻子伊麗澤．科赫 (Elise Koch) 是他姐妹的朋友。婚後一個月，黎曼患上了胸膜炎，尚未康復又染上肺病。1862 年以後，黎曼的病情反覆，到 1866年 7月 20日過世，離他四十歲生日尚欠兩個月而已。

　

參考文獻及網址：

Bell, E. T.  Men of Mathematics: The Lives abd Achievements of the Great Mathematics from Zeno to Poincare.

中譯本：徐源 "真誠的心靈 黎曼", 數學大師：從芝諾到龐加萊 上海：上海科技教育出版社, 頁 583 - 611, 2004.