數學的「破」與「立」

 

友人說:「為何數老講數中沒有數學?僅看到一些憤世之言。」我想,我該多談數學了。

 

 

數學的定律從來不是牢不可破,在數學的發展過程中,破壞不斷出現。在古希臘,希帕索斯 (Hippasus) 說出了一個不能說的秘密,根2的存在。這「怪數」動搖了畢達哥拉斯學派的核心思想,「萬物皆(有理)數」,被畢達哥拉斯的門人推倒於地中海。這便是耳熟能詳的第一次數學危機,也許破壞者的結果是死,但死亡不會消音,從始數域擴展至無理數。無理數的出現,使一些有理數的法則保留不了,但同樣出現新的景象。千多年後,微積分的出現顛覆了世人對無限的概念,是為第二次數學危機。雖然無限的研究和確立要到百多年後的才為人重視,但數學世界也得以擴展。羅素 (Russell) 的理髮師更厲害,一手摧毀了一個初生的數學理論「集合論」,然而這一破壞不單沒有使集合論從始消失,更加使其完善,成為數學中一個不可或缺的理論。一口氣走回過去,走過三次數學危機,全都是數學歷史中的「破」與「立」,在破壞之後的建立使數學更完善。學生經常不滿功課要依循格式,為何坐標是先xy,為何數線正右負左。我總是說不要問我,問數學家,不過他死了。待你日後數學界中有所知名以後,你大可改變這法則,到時我也得跟從。

 

 

坦言數學中沒有什麼不可以打破,就連數學家最引以為豪的「確定性」一樣可以打破,直觀主義和經典主義之爭存在已久,爭論的也不過是這一點。在未以得證的數學理論上再推展,已不是新鮮事,「黎曼猜想」、「ABC猜想」、「哥德巴赫猜想」雖未得證,但也廣泛地成為被數學人視作「定理」而進一步研究。

 

 

某天,一個學生想替「1/0」這個不被定義的數值賦義,問我可否。這學生還想出一大堆推演的「定理」,我淡淡然的說:「數學中沒有東西是不可打破的,定義一新東西,自然會推倒一些固有法則,問題只是之後你可否自圓其說。」

 

 

數學是破壞,這也許對只會熟背書中公式,在公開試拿下五星星的學生們難以理解。說實話,使一個學生明白「破」與「立」比使一個學生拿下五星星,我的成功感更大。破壞容易,但破壞之後的世界是如何確立呢?如乘法交換律在矩陣的世界被破壞了,這時AxB BxA 不再相同,那世界是怎麼樣?若我們對原來的乘法不認識時,我們確難想像。要建立新的秩序,我們必須對舊世界有很充份的認識才可以完成,然而我們對數學的法則已領會夠了,又是否願意放膽一躍呢?一個「難得糊塗」的人必然已看透世情,明白功名利場一切法則。墨守城規的香港學生也許正欠這一點,也許永遠也學不到這一點。

 

 

網誌,二零一十五日,清晨家中。